Произведением матрицы A имеющей порядки m и n на матрицу B имеющую порядки n и p называется матрица C имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой
A=ai,j=(ai,j){i=1,2,…,mj=1,2,…,n(1)
B=bi,j=(bi,j){i=1,2,…,mj=1,2,…,n(2)
С=сi,j=(сi,j){i=1,2,…,mj=1,2,…,p(3)
сi,j=k=1∑nai,k⋅bk,j{i=1,2,…,mj=1,2,…,p(4)
Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B
Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись
C=A⋅B(7)
Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.
Условие перемножения (произведения) матриц
Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B.
Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B
Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B.
При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.
Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.
Свойства перемножения (произведения) матриц
1. Сочетательное свойство произведения матриц
(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(8)
2. Распределительное свойство произведения матриц
относительно суммы матриц
(A+B)⋅C=A⋅С+B⋅C(9)
2. Перестановочное свойство произведения матриц
справедливо имеет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае
произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:
A⋅B=B⋅A(10)
Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц
Если в диагональной матрицеD все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.
d1=d2=⋯=dn=d(11)
то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство
