Уравнение незатухающих гармонических колебаний, формула
При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.
Линейный закон силы: Гармонические колебания характеризуются соотношением: Восстанавливающая сила Fв пропорциональна отклонению у.
Отклонению у отвечает сила F, определяемая жесткостью системы
Если
| y | отклонение спустя время t, | метр |
|---|---|---|
| F | отклоняющая сила, | Ньютон |
| Fв | восстанавливающая сила, | Ньютон |
| D | жесткость, | Ньютон/метр |
| m | масса, | килограмм |
| ω | круговая частота, | радиан / секунда |
то
\[
D = \frac{F}{y}
\]
\[
F = Dy
\]
Противоположно направленная восстанавливающая сила равна
\[
F_{в} = -Dy
\]
Согласно основному закону динамики,
\[
Восстанавливающая \enspace сила = Масса \cdot Ускорение
\]
\[
- Dy = m \doubledifferential{y}
\]
Отсюда после перестановки следует
\[
\doubledifferential{y} + \frac{D}{m} y = 0
\]
Полагая
\[
\frac{D}{m} = ω^2
\]
получаем
Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
\[
\doubledifferential{y} + ω^2 y = 0
\]
Решение этого дифференциального уравнения дается формулой отклонения, что можно доказать, дважды продифференцировав отклонение y по t.
Уравнение незатухающих гармонических колебаний |
стр. 537 |
|---|
