Уравнение затухающих колебаний, формула
Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:
\[
F \sim −υ
\]
Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения β, т. е.
\[
F = −βυ = −β \differential{y}
\]
Единица СИ коэффициента трения:
\[
[β] = \frac{кг}{сек}
\]
Если
| y | отклонение, | метр |
|---|---|---|
| u | скорость, | метр/сек |
| a | ускорение, | метр/сек2 |
| β | коэффициентом вязкого трения, | кг/сек |
| δ | коэффициентом затухания, | радиан/сек |
| ω0 | собственная угловая частота, | радиан/сек |
То основное уравнение динамики в этом случае гласит:
Восстанавливающая сила + Сила, вызывающая затухание =
= Масса * Ускорение
\[
- Dy - βu = ma
\]
\[
- Dy - β \differential{y} = m \doubledifferential{y}
\]
Отсюда следует
\[
\doubledifferential{y} + \frac{β}{m} \differential{y} + \frac{D}{m} y = 0
\]
Обозначая
\[
\frac{β}{m} = 2δ
\]
\[
\frac{D}{m} = ω_0 ^2
\]
получаем
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
\[
\doubledifferential{y} + 2δ \differential{y} + ω_0 ^2 y = 0
\]
В случае внутреннего (вязкого) трения сила, вызывающая затухание, оказывается с достаточной точностью пропорциональной скорости. Внешнее (сухое) трение не зависит от скорости и приводит к иному закону затухания, который не описывается уравнением (9).
Уравнение затухающих колебаний |
стр. 551 |
|---|
